El problema del cumpleaños

¿Cuánta gente hace falta en un grupo para que la probabilidad de que dos de ellas tengan la misma fecha de cumpleaños (día y mes) sea mayor que el 50 por ciento?

Imagina que en un cierto momento estás con un grupo de personas, por ejemplo en una reunión familiar o en una fiesta o cualquier grupo aleatorio de personas.

En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de 0.507, es decir, hay un 50.7% de posibilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.

Para las 23 personas la probabilidad es aproximadamente de 0.507297., es decir el 50%.

Básicamente lo que nos dice este resultado es que en una reunión de 23 o más personas es más sorprendente que no haya dos que coincidan en cumpleaños que el hecho de que sí las haya, algo que todo el mundo tiende a no creer en un primer momento.

Demostración Matemática:

Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas n<365>

Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá los años un cierto día. Tomamos otra de las personas.

La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es 364 / 365 (casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es 363 / 365, por la misma razón que anteriormente. Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es 362 / 365, y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos, es decir, que nadie coincida es el producto de todas esas probabilidades. Para n personas nos queda la siguiente expresión:

P = 364 / 365 x 363 / 365 x 362 / 365 …. x (365 – n + 1) / 365


Usando factoriales podemos escribir esa expresión así:

P = 365 ! / [365 ^ x (365 – n) !]

Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos haya una pareja que sí coincida será 1 - P. Es decir, la probabilidad de que en una reunión de n personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:

P = 365 ! / [365 ^ x (365 – n) !]

Con n = 22 obtenemos una probabilidad de 0.475695 . Con n = 23 ya pasamos el 50%, exactamente obtenemos una probabilidad de 0.507297.

Y si aumentamos un poco más el número de personas del grupo:

Para n = 30, la probabilidad es de 0.706316, poco más del 70%.
Para n = 50, la probabilidad es de 0.970374, más del 97%.
Para n = 60, la probabilidad es de 0.994123, más del 99%.

¿Crees que exista algún doble tuyo?

Si el Universo fuera infinito y contuviera infinita materia, una consecuencia lógica sería que existirían innumerables clones nuestros, de nuestro planeta y nuestra galaxia.

Físicos y cosmólogos ha calculado que, de ser así, bastaría viajar a 10^N metros (siendo N = 10^27) para encontrarnos con un doble idéntico a nosotros con certeza casi absoluta – esa es la distancia máxima a la que estaría situado.

Ese lejanísimo lugar está mucho más lejos que lo más lejos que podemos observar con nuestros telescopios, que es del orden de 10^27 metros (el universo visible). Lo que es más interesante a la par que intrigante, si N = 10^119 viajando hasta 10^N metros de distancia encontraríamos la primera copia idéntica de nuestro universo a tamaño completo. [Fuente: The Infinite Book de John D. Barrow, matemático de la Universidad de Cambridge.]

Aquí les dejo un ejemplo:



Esta persona es un amigo:



Su doble:




Las 2 personas radican actualmente en Estados Unidos, pero no son de la misma nacionalidad, lo cual hace aun mas grande la distancia.

Gracias ha Internet te puedes trasladar en minutos a lugares mucho más lejanos que los más lejanos, fue así como encontré el ejemplo anterior en www.youtube.com.

Talvez no sean tan idénticos o talvez si, talvez a algunas personas si les parezcan idénticos, talvez a otras no, por lo cual algunas personas podrían decir “Esto no es cierto”. Pues bien, como dije anteriormente el doble lo encontre en Internet, talvez por eso no sean tan parecidos, es decir probablemente no es la distancia correcta jejeje.

Algo aun más curioso es que no solo se parecen si no que como podemos ver los dos tocan muy bien la guitarra, lo cual nos dice que talvez dichos dobles pueden llegar a tener conductas similares.


En fin, si alguien conoce algún otro ejemplo me gustaría verlo.