El problema del cumpleaños

¿Cuánta gente hace falta en un grupo para que la probabilidad de que dos de ellas tengan la misma fecha de cumpleaños (día y mes) sea mayor que el 50 por ciento?

Imagina que en un cierto momento estás con un grupo de personas, por ejemplo en una reunión familiar o en una fiesta o cualquier grupo aleatorio de personas.

En una reunión de 23 personas escogidas aleatoriamente, la probabilidad de que dos de ellas cumplan los años el mismo día del mismo mes es de 0.507, es decir, hay un 50.7% de posibilidades de que haya dos personas que cumplan los años el mismo día del mismo mes.

Para las 23 personas la probabilidad es aproximadamente de 0.507297., es decir el 50%.

Básicamente lo que nos dice este resultado es que en una reunión de 23 o más personas es más sorprendente que no haya dos que coincidan en cumpleaños que el hecho de que sí las haya, algo que todo el mundo tiende a no creer en un primer momento.

Demostración Matemática:

Para calcular la probabilidad para cualquier número de personas n<365>

Tomamos una de las personas del grupo. Esa persona cumplirá los años un cierto día. Tomamos otra de las personas.

La probabilidad de que esta nueva persona no coincida en cumpleaños con la primera es 364 / 365 (casos favorables: todos los días del año excepto el del cumpleaños de la primera persona; casos posibles: todos los días del año). Si tomamos otra persona más, la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es 363 / 365, por la misma razón que anteriormente. Tomando otra más la probabilidad de que no coincida con ninguna de las anteriores es 362 / 365, y así sucesivamente. Al ser sucesos independientes, la probabilidad de que ocurran todos ellos, es decir, que nadie coincida es el producto de todas esas probabilidades. Para n personas nos queda la siguiente expresión:

P = 364 / 365 x 363 / 365 x 362 / 365 …. x (365 – n + 1) / 365


Usando factoriales podemos escribir esa expresión así:

P = 365 ! / [365 ^ x (365 – n) !]

Si esta es la probabilidad de que no haya dos personas que coincidan en cumpleaños, la probabilidad de que al menos haya una pareja que sí coincida será 1 - P. Es decir, la probabilidad de que en una reunión de n personas haya dos que cumplen los años el mismo día y el mismo mes es:

P = 365 ! / [365 ^ x (365 – n) !]

Con n = 22 obtenemos una probabilidad de 0.475695 . Con n = 23 ya pasamos el 50%, exactamente obtenemos una probabilidad de 0.507297.

Y si aumentamos un poco más el número de personas del grupo:

Para n = 30, la probabilidad es de 0.706316, poco más del 70%.
Para n = 50, la probabilidad es de 0.970374, más del 97%.
Para n = 60, la probabilidad es de 0.994123, más del 99%.