¿Cuánto vale cero a la cero ?

En la escuela a todos nos dicen que todo número elevado a cero vale uno y que cero elevado a cualquier número vale cero.

¿Cierto?

Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema:

¿Cuánto vale 0 a la 0?

Según la primera de las afirmaciones valdría 1, pero según la segunda valdría 0.

El dilema es: ¿Cual es la correcta?.

Muchos dirían:

0 a la 0 es indeterminación, Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0.

Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación 0 a la 0, sino que queremos saber cuál es el valor del número 0 a la 0 (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número).

¿Cuál es la forma más coherente matemáticamente hablando para dar un valor a 0 a la 0?

Pues a través de un límite. Sí, cierto, en el párrafo anterior he dicho que no estamos calculando cualquier límite que dé como indeterminación 0 a la 0, pero no es eso lo que vamos a hacer, lo que vamos a utilizar es una función concreta para encontrar ese valor.

¿Cuál función?

Pues la más lógica: x^x. Vamos a calcular su límite cuando x tiende a 0. Lo haremos por el procedimiento normal: llamar A al límite y aplicar logaritmo a ambos lados de la igualdad, utilizando después la regla de L’Hopital llegamos a la solución:

lim x->0 x^x = ” 0^0 ” = A;

log A = limx->0log (x^x) = [Propiedad de los logaritmos] = limx->0x log x = ” 0 (-infinito) “;

Tenemos otra indeterminación, para resolverla pasamos x como 1/x al denominador y aplicamos la regla de L’Hopital:

log A = limx->0log x/(1/x) = [L’Hopital] = limx->0(1/x)/(-1/x^2) = [Operamos] = limx->0(-x) = 0;

Por tanto log A = 0 –> A = 1

Es decir, el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es:

0^0 = 1